Pisagor Teoreminin Anatomisi

“Bu beş postulatın içinde bir yerlerde Pisagor teoreminin geçiyor olması gerçekten hayret verici!”

1. Herhangi bir noktadan başka herhangi bir noktaya bir doğru çizilebilir.
2. Bir doğru istenildiği kadar yine bir doğru olacak şekilde uzatılabilir.
3. Herhangi bir merkez ve bir uzunluk verildiğinde bir çember çizilebilir.
4. Bütün dik açılar birbirine eşittir.
5. Eğer bir doğru, iki doğruyu kestiğinde bu doğrunun aynı tarafındaki iç açılar iki dik açıdan küçükse, bu iki doğru o yönde uzatıldıklarında kesişir.

“Tüm matematiksel ispatlar birtakım postulatlardan mantıksal çıkarımlara dayandığından, geometrideki Pythagoras teoremi gibi bir teoremin, dayandığı postulatlar bakımından nesnel ya da kuramsal yeni hiçbir şey ileri sürmediği açıktır. Çıkarımın, postulatlarda farkına varmadığımız bir ilişkiyi ortaya çıkarması bize yeni bir şeye ulaştığımız duygusunu verebilir, ancak bu mantıksal değil, salt psikolojik bir yeniliktir.” (Carl G. HEMPEL)

Aşağıdaki diyagramda Euclid’in vermiş olduğu bu beş postulattan hareketle Pisagor teoreminin elde edilişi gösterilmektedir. Kutu içindeki numaralar Euclid’in Elementler adlı kitabının ilk cildindeki önermeleri ifade etmektedir. Bu önermelerin bazıları teorem (siyah) bazıları da çizim (kırmızı)dir. Mesela 5. önerme; 3 ve 4 nolu önermeler; 26. önerme 16, 3 ve 4 nolu önermeler kullanılarak ispatlanmıştır. Her bir önerme kendinden önceki önermeler yardımıyla ispatlanıp bu şekilde devam edildiğinde 47 nolu önermenin (Pisagor Teoremi) ispat edildiği görülmektedir. Her bir önermenin kendinden önceki önermeler yardımıyla ispatlanması sonsuz bir geriye gidişi gerektirmektedir. Bunun önüne geçmek için de bir yerde bu geriye gidişi durdurup orada ilk kabullerle işe başlanmalıdır. Bunlara da postulat, aksiyom denir.

Biraz dikkatle bakıldığında bu diyagram bize matematiğin ne olduğunu da söylemektedir. Matematik ve Oyun adlı yazımda (https://www.matematiksel.org/matematik-ve-oyun/) matematik ve Lego oyunu arasındaki benzerliklere dikkat çekerek, aslında matematiğin bir oyun olduğunu ifade etmiştim. Gerçekten de elde var olan birkaç postulattan mükemmel bir yapı kurmakla, torbamızda var olan lego parçalarından bir ev yapmak arasında hemen hemen hiç bir fark yoktur. Nasıl elimizde var olan anlamsız lego parçalarından bir evi hayal edebiliyorsak, işte gerçekten uğraşıldığında ve de kafa yorulduğunda yukarıda verilmiş olan beş postulattan da Pisagor teoremini görebilmek mümkündür. Diyagramda yer alan önermeler aşağıda verilmiştir. Bu önermelerle beraber diyagramdaki okları takip ederek pisagor teoremine ulaşmayı deneyiniz. Eminim güzel bir tecrübe olacaktır. Salt önermelerden hareketle bu yolculuk çok kolay olmayacaktır. O yüzden Euclid’in ilk kitabını ( http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/Dersler/113/2013/oklid-yunanca-turkce-2013-09.pdf ) da yanınıza alınız!

Diyagramda yer alan önermeler:

1. Verilen bir doğru parçası üzerine eşkenar bir üçgen çizmenin yolu.

2. Verilen bir noktadan başlamak üzere, verilen bir doğruya eşit bir doğru parçası çizmenin yolu.

3. Farklı uzunlukta iki doğru verildiğinde uzun olandan kısa olana eşit bir doğru çıkarmanın yolu.

4. Eğer iki üçgenin karşılıklı iki kenarları ve bu eşit kenarlar arasındaki açıları birbirlerine eşitse, üçüncü kenarları da birbirine eşit olur; üçgenler bu durumda eşittir ve kalan açılar da birbirine eşittir, yani eşit kenarların karşılarındaki açılar birbirlerine eşit olur.

5. İkizkenar üçgenlerde taban açıları birbirine eşittir, ve eğer eşit olan kenarlar uzatılırsa tabanın altında kalan açılar da birbirine eşit olacaktır.

7. Bir doğru parçasının iki ucundan aynı tarafa doğru iki doğru çizildiğinde bir noktada kesişiyorlarsa, bu doğruların çıktığı noktalardan çıkan, onlara eşit olun ve onların uzatıldığı tarafa uzatılıp da başka bir noktada kesişen başka iki doğru yoktur.

8.  Eğer iki üçgenin karşılıklı iki kenarları birbirlerine eşitse ve üstelik tabanları da birbirine eşitse, o zaman bu üçgenlerin eşit kenarlar arasında kalan açıları da eşittir.

9. Bir düzkenarlı bir açıyı ikiye bölmenin yolu.

10. Verilen bir sonlu doğruyu ikiye bölmenin yolu.

11. Bir doğruya üzerinde verilen bir noktadan dik bir doğru çizmenin yolu.

13. Bir doğruya çizilen başka bir doğru eğer açı oluşturuyorsa ya iki dik açı oluşturur ya da iki dik açıya eşit açılar oluşturur.

14.  Eğer bir doğru parçasının üzerindeki bir noktadan, bu doğru parçasının aynı tarafında olmayacak şekilde çizilen iki doğrunun bu doğru parçasıyla oluşturdukları açılar iki dik açı ediyorsa, bu iki doğru aynı doğru üzerindedir.

15. Kesişen iki doğrunun oluşturduğu ters köşe açıları eşittir.

16. Bir üçgenin bir kenarı uzatıldığında oluşan dış açı karşı iç açıların ikisinden de büyüktür.

18.  Bir üçgende daha büyük kenar daha büyük açıyı görür.

19.  Bir üçgende daha büyük açı daha büyük kenarı görür.

20. Bir üçgende herhangi iki kenar birlikte diğer kenardan büyüktür.

22.  Kenarları, verilen üç doğru parçasına eşit olan bir üçgen çizmenin yolu.

23.  Bir doğru üzerinde ve üzerindeki bir noktadan verilen bir düzkenar açıya eşit bir düzkenar açı çizmenin yolu.

26.  Karşılıklı ikişer açıları aynı olan üçgenlerde eğer bu açılar arasında kalan kenarlar eşitse, ya da bu eşit açılardan birini gören kenar diğer üçgendeki eşit   açılardan birini gören kenara eşitse, bu üçgenlerde diğer kenarlar da eşit olur ve birinin kalan açısı öbürünün kalan açısına eşit olur.

27.  Eğer bir doğru, iki doğruyu kestiğinde oluşan ters iç açılar eşitse, o iki doğru paraleldir.

31.  Verilen bir noktadan verilen bir doğruya paralel bir doğru çizmenin yolu.

34.  Bir paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir, ve paralelkenarın köşegeni alanını ikiye böler.

35. Aynı taban üzerinde ve aynı paraleller arasında olan paralelkenarlar birbirine eşittir.

37. Aynı taban üzerinde ve aynı paraleller arasında olan üçgenler birbirine eşittir.

41.  Eğer bir paralelkenar bir üçgenle aynı tabana sahipse ve üçgenle aynı paraleller arasındaysa paralelkenar üçgenin iki katıdır.

46.  Bir doğru parçası üzerine bir kare çizmenin yolu.

47.  Dik açılı üçgenlerde dik açıyı gören kenar üzerindeki kare, dik açıyı içeren kenarlar üzerindeki karelere eşittir.

Aykut Çelikel

KAYNAKÇA:

1. Öklid’in Elemanlar Eseri (Çev. Ali Sinan SERTÖZ)
2. Yıldırım C., Matematiksel Düşünme, Remzi Kitabevi (2004)  

Matematiksel web sitesinden alınmıştır.
https://www.matematiksel.org/pisagor-teoreminin-anatomisi/